Logisches Schliessen und Beweisen

Kurzbeschreibung

Beweise, die auf logischen Schlussfolgerungen beruhen, sind die stärksten Techniken der Wahrheitsfindung und kommen auch in der empirischen Forschung zur Anwendung. (Siehe auch den entsprechenden Artikel in der Wikipedia)

Funktionsweise und Leistung

Wenn Sie jemanden von einer Auffassung überzeugen wollen, müssen Sie versuchen, ihm oder ihr deren Wahrheit nachzuweisen. Die Wahrheit einer Aussage hängt davon ab, ob sie als gültig bewiesen wurde. Ein argumentativer Beweis versucht die zur Diskussion stehende Aussage ausgehend von für wahr und gewiss genommener Voraussetzungen (Prämissen) und einem gültigen Argument logisch zu begründen (s. Bsp. unten). Eine überzeugende und somit zwingende Argumentation begründet die Wahrheit der fraglichen These, indem sie mit logischer Notwendigkeit von der Wahrheit der Prämissen auf die Wahrheit der Konklusion schliesst, d.h. indem sie die Prämissen logisch mit der Konklusion verknüpft. Ein Beispiel für ein Argument:

Prämisse 1: (Immer) Wenn es sich bei einer geometrischen Form um ein Dreieck handelt, beträgt die Summe all ihrer Winkel 180 Grad.

Prämisse 2: Bei dieser geometrischen Form handelt es sich um ein Dreieck.

Konklusion (=zu beweisende These): Die Summe aller Winkel dieser geometrischen Form beträgt 180 Grad.

Das heisst, die logische Gültigkeit von Argumenten hängt alleine von ihrer logischen Form ab, also von den abstrakten logischen Beziehungen, die zwischen den Aussagen (und den Begriffen) bestehen (im obigen Beispiel ist diese logische Form eine Wenn-Dann-Implikation: „Immer wenn x der Fall ist, ist notwendig auch y der Fall.“). Darum muss man die Gesetze der Logik berücksichtigen, wenn man ein Argument aufstellen oder kritisieren will. Es handelt sich bei diesen Gesetzen um die formalen Beziehungsmuster zwischen Aussagen, die unabhängig von den tatsächlichen Inhalten gelten (Das wird bei der einfachsten logischen Beziehung – der Verneinung – sofort deutlich. Wenn die Aussage „Anton liebt Eva.“ wahr ist, dann muss die Aussage „Anton liebt Eva nicht.“ falsch sein. Und das ganz unabhängig davon, ob es Anton und Eva gibt und ob jemand von ihnen den oder die andere liebt. Ausschlaggebend ist alleine das logische Verhältnis zwischen den beiden sonst gleichlautenden Sätzen: die Verneinung.). Man kann daher die Gesetze des Denkens auch so ähnlich formalisieren wie mathematische Formeln. (Z.B. „p → q“ bedeutet „Wenn p der Fall bzw. wahr ist, dann ist auch q der Fall bzw. wahr.“) Diese Formalisierung kommt beispielsweise in der Computerprogrammierung zum Tragen. Will man das logische Skelett eines sprachlich ausgedrückten Argumentes eruieren, muss man sich auf kleine Wörter wie „wenn… dann“, „also“, „deswegen“, „nicht“, „da“, „alle“, „jeder“, „ein“ etc. konzentrieren.

Übung. Füllen Sie die Lücken in den beiden folgenden Argumenten:

1.)

Prämisse 1: Alle Schwäne sind weiss. (Genauer: Wenn ein Vogel ein Schwan ist, ist er weiss.)
Prämisse 2: Dieser Vogel ist orange.
Konklusion: Also …

2.)

Prämisse 1: Sonntags sind die Läden geschlossen (Genauer: Wenn es Sonntag ist, sind die Läden geschlossen.)
Prämisse 2: Die Läden sind offen.
Konklusion: Also …

Ein gutes Argument muss somit bei der Verknüpfung der verschiedenen Aussagen darauf achten, welche logischen Beziehungen dabei angewendet werden und welche Folgerungen aus diesen resultieren. Die logischen Grundgesetze sowie einige logische Beziehungen zwischen Aussagen finden sich im Anhang aufgeführt.

Selbst wenn ein Argument logisch gültig ist, kann die These falsch sein. Denn es besteht immer noch die Möglichkeit, dass die zugrundeliegenden Prämissen falsch oder untereinander unverträglich sind. Dann muss man sich daran machen, die Prämissen selber wieder zu begründen. Das lässt sich jedoch immer weiter fortsetzen und führt letztlich zu einem Problem, das in der Philosophie als Letztbegründungsproblem bekannt ist. Gibt es irgendeinen Punkt, wo ich die Prämissen nicht weiter begründen muss, wo meine Prämissen in sich evident sind? Das ist höchst umstritten und daher neigt man dazu, innerhalb der wissenschaftlichen Gemeinschaft für eine bestimmte Fragestellung jeweils einfach gewisse Prämissen als nicht zu hinterfragende Axiome anzusetzen.

Ein gutes Argument muss also sicherstellen, dass die Prämissen von allen GesprächsteilnehmerInnen als wahr angenommen werden können. Darum müssen alle darin vorkommenden Begriffe klar verständlich sein oder sonst explizit definiert werden. Des Weiteren muss das Argument bei der Verknüpfung der verschiedenen Aussagen darauf achten, um welche logischen Beziehungen es dabei geht und welche Folgerungen aus diesen resultieren. Die logische Beziehung, die in jedem Argument steckt liegt, ist die Wenn-Dann-Beziehung: Wenn die Prämissen wahr sind, dann muss auch die Konklusion wahr sein.

Vorgehen

Um eine These logisch zwingen zu beweisen, muss ich sie als die Konklusion aus einem logischen Schluss herleiten. D.h. ich muss zwei Prämissen suchen, aus denen ich meine These logisch herleiten kann.

Angenommen ich möchte die Existenz Gottes beweisen. Dann konstruiere ich folgendes Argument:

Prämisse 1: Wenn die Welt eine wohlgeordnete und zweckmässig eingerichtete ist, dann muss sie von einem göttlichen Wesen erschaffen worden sein.
Prämisse 2: Die Welt ist wohlgeordnet und zweckmässig eingerichtet.
Konklusion: Also folgt daraus, dass Gott existiert.

Konkretes Beispiel

s.o.

Prominente TheoretikerInnen

Aristoteles u.v.m.

Probleme

Verknüpft mit

Überprüfen (Verifizieren/Falisfizieren)

Übersicht über die Techniken

Vom Einfachen zum Komplexen